Fourier 分析的具体思想是使用基本的周期函数去表示复杂的函数. 在本文中均使用复指数函数 $e^{2\pi ikx}$ 作为基底. 本文主要论述 Fourier 级数和 Fourier 变换的定义起源, 不涉及任何收敛性分析.

Fourier 级数与 Fourier 变换

考虑周期为 $l$ 的函数 $f: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$, 那么想要使用 $e^{2\pi ik x}$ 来表示 $f(x)$, 那么 $e^{2\pi i\theta}$ 也得是以 $l$ 为周期的, 所以存在整数 $m$, 使得

$$
2\pi kl=2\pi m,
$$

即 $k=\frac{m}{l}$, 我们可设

$$
f(x)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{2\pi i mx/l}.
$$

注意到对于任意整数 $n$,

$$
\int _{-\frac{l}{2}}^{l/2}e^{2\pi i (m-n) x/l} \, dx = \begin{cases}
l, & m=n, \\
\frac{l}{2\pi i(m-n)}(e^{\pi i(m-n)}-e^{-\pi i(m-n)})=0, & m\neq n.
\end{cases}
$$

故 Fourier 系数 $a_{m}$ 可定义为

$$
a_{m}=\frac{1}{l}\int _{-\frac{l}{2}}^{l/2}f(x)e^{-2\pi imx/l} \, dx
$$

进一步推广, 当 $f$ 不是 一个周期函数, 或者说 $l=\infty$ 时, 我们令 上述 Fourier 展开式中的 $l$ 趋于无穷, 可以自然地想象当 $m$ 遍历 $\mathbb{Z}$ 时, $k=\frac{m}{l}$ 遍历 $\mathbb{R}$, 再将求和转换为积分, 即得连续版本的 Fourier 展开

$$
f(x)= \int _{-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi ikx} \, dk .
$$

可以想像 $\hat{f}(k)dk$ 对应于 Fourier 级数中的 $a_{m}$, $dk$ 对应于 $\frac{1}{l}$. 那么 $\hat{f}(k)$ 的表达式可由 $a_{m}$ 的表达式修改得到

$$
\hat{f}(k)=\lim_{ l \to \infty } la_{m}= \int _{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i kx} \, dx .
$$

离散 Fourier 级数

若我们将上一节中的函数 $f$ 的定义域从 $\mathbb{R}$ 替换成 $\mathbb{Z}$, 则我们可以得到上述 Fourier 级数的离散版本. 同样首先考虑 $f$ 是周期为 $N\in\mathbb{N_{+}}$ 的函数, 则我们可以选取

$$
n\mapsto e^{2\pi i k n}
$$

作为基底的候选函数. 设其周期为 $N$, 则存在整数 $m$, 使得

$$
2\pi k N=2\pi m,
$$

所以 $k=\frac{m}{N}$. 离散 Fourier 级数与普通的 Fourier 级数最大的不同是 $m$ 不必取完所有的整数, 因为在当前的定义域 $\mathbb{Z}$ 下, $m$ 和 $m+N$ 对应的函数是相等的, 故我们可取

$$
-\frac{N}{2} < m\leq \frac{N}{2}, $$

如无特殊说明, 本小节中对 $m$ 的求和的范围均由上述不等式给出. 那么 $f$ 可展开为

$$
f(n)=\sum_{m} a_{m}e^{2\pi i m n/N}.
$$

同样, 注意到

$$
\sum_{n}e^{2\pi i (m-m') n/N}=\begin{cases}
N, & m=m', \\
0, & m\neq m'.
\end{cases}
$$

上述求和同样是对 $f$ 一个周期内的值求和. 故

$$
a_{m}=\frac{1}{N}\sum_{n}f(n)e^{-2\pi imn/N}.
$$

而对于周期无穷大的情形, 我们只需要将上述对一个周期内的值的求和改成对 $\mathbb{Z}$ 的求和即可.