有限群的 Fourier 变换

zhangxh 发布于 2024-11-25 178 次阅读

AI 摘要

在有限群的 Fourier 变换中，蕴藏着深邃的数学美。本文探讨了有限群上函数的 Fourier 变换及其卷积的精妙关系，揭示了其与传统 Fourier 变换的相似性。我们将深入分析 Haar 测度与 Plancherel 测度之间的微妙联系，探索其在有限群中的多样表现与应用。通过这样的视角，读者将领略到现代数学中群论与傅里叶分析交织出的绚丽景观，为理解更高维的代数结构打下基础。

定义与性质

设 \(G\) 是一个有限群, \(f:G\to \mathbb{C}\) 是一个 \(G\) 上的函数, 则其 Fourier 变换 \(\hat{f}\) 是一个从 \(G\) 的表示空间到可逆线性变换变换的映射, 定义为
\begin{equation}
\hat{f}(\rho)=\sum_{g\in G}f(g)\rho(g).
\end{equation}

有限群的 Fourier 变换和普通的 Fourier 变换有着不少相似性. 下面记录一下其对应的卷积和 Plancherel 恒等式.

设 \(f,g:G\to \mathbb{C}\) 是两个 \(G\) 上的函数, \(f\) 与 \(g\) 的卷积定义为
\begin{equation}
(f*g)(a)=\sum_{a\in G}f(ab^{-1})g(b).
\end{equation}
则 Fourier 变换将卷积变为点积:
\begin{equation}
\widehat{f*g}(\rho)=\hat{f}(\rho)\hat{g}(\rho)
\end{equation}

设 \(G^{\wedge}\) 是 \(G\) 的不可约表示的集合, 则对于两个函数 \(f,g:G\to \mathbb{C}\), 我们可以定义它们的 Fourier 变换内积为
\begin{equation}
(\hat{f},\hat{g})=\frac{1}{|G|}\sum_{\rho\in G^{\wedge}}d_{\rho}\operatorname{tr}\left(\hat{f}(\rho)\hat{g}(\rho)\right),
\end{equation}
其中 \(d_{\rho}=\dim \rho\). 那么有限群 Fourier 变换版本的 Plancherel 恒等式为
\begin{equation}
\sum_{a\in G}f(a^{-1})g(a)=\frac{1}{|G|}\sum_{\rho\in G^{\wedge}}d_{\rho}\operatorname{tr}\left(\hat{f}(\rho)\hat{g}(\rho)\right).
\end{equation}
左边跟普通的函数内积有些区别, 但当我们把 \(f,g\) 限制为 \(G\) 上的类函数时, 则有 \(f(a^{-1})=\overline{f(a)}\), 从而恢复复值函数的内积.

例子: Haar 测度与 Plancherel 测度

本节主要讨论有限群上的 Haar 测度与 Plancherel 测度之间的 Fourier 变换.

Haar测度的原型是1897年 Adolf Huwitz 提出来的李群上的不变积分，1933年 Alfréd Haar 将其推广到局部紧致的 Hassdoff 拓扑群上去. 设 \(G\) 是一个局部紧致的 Hausdoff 拓扑群, 则在 \(G\) 上存在一个测度 \(\mu\) 使得

  • \(\mu\) 是左不变测度, 即对于任意的 \(g\in G\) 和可测子集 \(S \subseteq G\), 均有 \(\mu(g S)=\mu(G)\).
  • 对于任意的紧致子集 \(K\), 均有 \(\mu(K)<\infty\).
  • \(\mu\) 是一个外正则测度: \[\mu(S)=\inf_{S \subseteq U,U \text{ open}} \mu(U).\]
  • \(\mu\) 是一个内正则测度: \[\mu(S)=\inf_{K \subseteq S, K\text{ compact}}\mu(K).\]

满足上述条件的不同的 \(\mu\) 至多相差一个常数倍. 我们把满足上述条件的测度称为 \(G\) 上的左不变 Haar 测度. 同理, 我们也可以定义 \(G\) 上的右不变 Haar 测度. 关于 Haar 测度, 一些简单的例子如下:

  • 有限群的 Haar 测度为计数测度.
  • \((\mathbb{R},+)\) 的 Haar 测度为 \(\mathop{}\!\mathrm{d} x\).
  • \((\mathbb{R}_{+},\cdot) \) 的 Haar 测度为 \(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{x}\).
  • \(\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\) 的 Haar 测度为 \(\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} X}{|\det X|^{n}}\).

下面我们考虑有限群 \(G\), 设 \(G^{\wedge}\) 是 \(G\) 的不可约表示的集合. 对于 \(\pi \in G\), \(\pi\) 的 Plancherel 测度定义为
\begin{equation}
\mu(\pi)= \frac{|\dim \pi|^{2}}{|G|}.
\end{equation}
Plancherel 测度的一个经典的例子是 \(S_{n}\) 上的 Plancherel 测度, 以后会专门写一篇文章介绍 \(S_{n}\) 的不可约表示, 有空再来填坑.

设 \(f:G\to \mathbb{C}\) 是 \(G\) 上的一个类函数, 如果我们滥用记号地记
\[
\hat{f}(\rho)= \sqrt{\frac{\operatorname{tr}\left(f(\rho)^{2}\right)}{d_{\rho}}},
\]
则有
\[
\int_{G}|f(a)|^{2}\mathop{}\!\mathrm{d} \mu_{H}(a)=\int_{G^{\wedge}}|\hat{f}(\rho)|^{2}\mathop{}\!\mathrm{d} \mu_{P}(\rho),
\]
其中, \(\mu_{H}\) 为 \(G\) 上的 Haar 测度, \(\mu_{P}\) 为 \(G^{\wedge}\) 上的 Plancherel 测度.